M18S3 Modelos matemáticos con derivadas y antiderivadas

Existen muchas ecuaciones que modelan distintos procesos y fenómenos. Dependiendo del contexto, las derivadas tienen significados diferentes, pero el punto de partida es siempre el cambio instantáneo de una variable con respecto de otra. De ahí la importancia del estudio de razones de cambio.

Las antiderivadas, hasta cierto punto, son la operación inversa de las derivadas.

Modelo de Malthus Análisis del Modelo de Malthus Ejemplo

Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano lo hizo Thomas Malthus, economista inglés en 1798. En esencia, la idea de este modelo es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional en cualquier momento P(t). En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más en el futuro.

En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar como donde el símbolo ∝ indica que ambas cantidades son proporcionales y k > 0 es esa constante de proporcionalidad.

Como puedes notar, la ecuación puede traducirse como P' (t) = k P (t). Por lo que ya viste de la función exponencial, la solución debe ser algo relacionado con ella puesto que se debe buscar una que coincida con su derivada. Se sabe, por una aplicación de teoría de ecuaciones diferenciales, que la solución general de este problema es P(t) = A₀ e^kt, para t ≥ 0, y donde A₀ denota la población inicial, es decir, A₀ = P(0).