Miprepa y Yo: M18S1 Condiciones

Una función es continua en a si se satisfacen tres condiciones:

f está definida en un intervalo abierto que contiene a a f(a) existe.
El limite F(x) debe existir cuando x tiende a a $\lim_{x\rightarrow a} x f(x) existe$
Los números de las condiciones 1 y 2 deben ser iguales $\lim_{x\rightarrow a} x f(x) = f(a)$

Las siguientes gráficas presentan varias funciones que no son continuas en a.

Discontinuidad con salto

Los límites por la derecha y por la izquierda existen, pero son distintos y, por lo tanto, el límite no existe en a.

Discontinuidad infinita

No existe el límite ya que los límites laterales no existen.

Discontinuidad inevitable

Ambas gráficas son parecidas porque el límite existe en ambos casos como $\lim_{x\rightarrow a} f(x)\neq f(a)$ . En la gráfica de la izquierda el límite no está definido y la gráfica de la derecha el límite es $\lim_{x\rightarrow a} f(x) \neq f(a)$ .

$\LARGE \lim_{x\rightarrow a} f(x) \neq f(a)$

El límite indica que si f no es continua en a, se dice que f es discontinua en a si f es continua en a.
En la gráfica hay un punto: (a,(f(a))) tal que $\small \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)$ se presenta a medida que x se acerca a.
Para que una función sea continua se requiere que $\small \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)$ .

A veces es conveniente pensar en las funciones que son continuas en un intervalo, cuya gráfica se puede trazar sin levantar el lápiz del papel. Una interpretación más formal es que un cambio en el valor de x produce un cambio pequeño en el valor de f(x). Esto se debe a la definición del límite. Si f es una función definida como

$\small f(x) = \frac{x^{2} - 4}{x + 2}$

La grafica de esta función es:

Gráfica de la función

La gráfica presenta una recta, sin embargo, la definición indica que tiene una discontinuidad en el punto x-2, entonces el límite de la función se calcula de la siguiente manera:

$\small \lim_{x\rightarrow -2}\frac{x^{2}-4}{x + 2} = \lim_{x\rightarrow -2}\frac{(x^{\square }+2)(x - 2)}{x + 2} = \lim_{x\rightarrow -2}x - 2 = - 4$

La función tiene una discontinuidad removible en ese punto, por lo que la función se puede definir como:

$\small f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}-4}{x+2} si x \neq -2\\ -4 si x = -2 \end{matrix}\right.$

La función tiene su dominio en el conjunto de los números reales $\small \mathbb{R}$ , el cual es abierto. El límite, en donde está la discontinuidad, existe y es -4. También se tiene que f(-2)=-4, el cual coincide con el límite, por lo que se cumplen las condiciones de la definición, siendo la función continua todos los puntos del abierto, que en este caso es $\small \mathbb{R}$ .

Si las funciones f y g son continuas en a, esto es:

$\small \lim_{x\rightarrow a} g(x) = g(a)y \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)$

Entonces se cumple:

$\small \lim_{x\rightarrow a} f(x) + \lim_{x\rightarrow a} g(x) = f(a) + g(a)$
$\small \lim_{x\rightarrow a} f(x) - \lim_{x\rightarrow a} g(x) = f(a) - g(a)$
$\small \lim_{x\rightarrow a} f(x) * \lim_{x\rightarrow a} g(x) = f(a) * g(a)$
$\small \frac{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}{\lim_{x\rightarrow a} g(a)} = \frac{f(a)}{g(a)} \hspace{.2cm}si \lim_{x\rightarrow a} g(x) \neq 0$