M20S2 Punto de inflexión

Iniciemos esta semana dando seguimiento al tema anterior Valor máximo y mínimo de una función, esta vez con el tema Punto de inflexión.

Primero, un punto de inflexión es un punto que pertenece a una gráfica, ese punto se caracteriza por un cambio en la concavidad.

Observa que en la siguiente imagen, la primera derivada de la función evaluada en el punto 0, es 0, al igual que la segunda derivada calculada en el mismo punto; por lo tanto (0, 0) es un punto de inflexión para la función.

En una gráfica donde se encuentre el máximo y/o un mínimo, habrá un cambio en la concavidad, es decir, los valores de la función pueden ser crecientes (postiva) o decrecientes (negativa). Entre estos puntos es posible encontrar el punto de inflexión que es el valor donde la función cambia de concavidad.

 

Calculando punto de inflexión

Ahora calculemos el punto de inflexión de la siguiente función:
x³ - 3x² + 6x- 6 Vamos por pasos:

1. Calculamos la primer derivada de la función

f´(x)= 3x² - 6x + 6

2. Calculamos la segunda derivada

3. Para encontrar el punto de inflexión de la abscisa (valor del eje de las x) Igualamos la segunda derivada a cero y despejamos x :

f´´(x)= 6x – 6 → 6x – 6= 0 quedando que x= 6/6 por lo tanto x= 1

Por lo tanto tenemos que x=1 es la abscisa del punto de inflexión.

4. Para encontrar la ordenada del punto de inflexión se debe sustituir el valor de “x” en la función original.

Teniendo que cuando x=1

f(x) = x³- 3x² + 6x- 6

f(1) = (1)³ – 3(1)² + 6 (1) – 6

f(1) = 1- 3 + 6 – 6 → f(1) = 7-9

f(1) = -2 es el valor del punto de inflexión en la ordenada

Resumiendo tenemos que las coordenadas del punto de inflexión es (1, -2)

   

Calcular concavidad

Si quieres conocer la concavidad de la gráfica, deberás tomar un valor anterior y posterior al punto de inflexión de la abscisa y sustituirlos en la segunda derivada de la función.

Teniendo que 1 es el valor de la abscisa, podemos tomar -2 y 2.

Cuando x= -2

f´´(x)= 6x – 6

f´´(-2)= 6(-2) – 6

f´´(-2)= -12-6=-18

Por lo que cuando x=-2 hay concavidad negativa (la función decrece).

Cuando x= 2

f´´(x)= 6x – 6

f´´(2)= 6(2) – 6

f´´(2)= 12-6= 6

Por lo que cuando x=2 hay concavidad positiva (función crece).