Miprepa y Yo: M19S1 Relación y funciones

Introducción

Para explicar los conceptos de relación y función, consideraremos el siguiente ejemplo:

Una secretaria trabaja diariamente de lunes a viernes 5 horas en una escuela primaria y 3 horas en una secundaria. En los dos trabajos le pagan por hora. En la primaria gana $20 por hora y en la secundaria $40, ¿cuánto gana diariamente?

En esta situación se observa que existen una correspondencia entre el tiempo que trabaja y el sueldo que percibe en cada uno de sus trabajos, esta correspondencia se llama relación.

En este caso el conjunto dominio está representado por el tiempo trabajado y el recorrido o rango es el sueldo que obtiene por cada hora. Representemos esta relación en dos tablas, una para cada trabajo:

En las tablas observamos que por cada valor de tiempo trabajado en horas le corresponde solamente un valor de sueldo por hora, debido a esta condición podemos decir que existe una función.

A partir de las definiciones de relación y función podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

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La distancia que recorre un vehículo en movimiento a una velocidad fija de 20 kilómetros por hora:

La tabla representa a una relación porque a cada valor del dominio (tiempo) le corresponde uno o más valores en el recorrido o rango (distancia en kilómetros).
También es una función porque a cada valor del dominio le corresponde uno y sólo un valor del recorrido.

La cantidad de personas que se encuentra en sus casas depende de factores como el horario, sus ocupaciones, etcétera. Si realizamos un conteo de las personas que se encuentran en sus casas en diferentes horarios, obtendríamos una tabla como la siguiente:

La tabla representa a una relación porque para cada elemento del dominio (casa) le corresponde uno o más valores en el recorrido o rango (cantidad de personas).
Pero no es una función porque cada elemento del dominio (casa) tiene más de un elemento en recorrido o rango.

Entre las funciones, podemos distinguir las que son lineales y las que son cuadráticas.

Recuerda que podrás encontrar más información en el documento en extenso del aula.

Funciones lineales

Una función lineal es una función de primer grado; es decir, el exponente de la literal es 1 y su gráfica se representa como una línea recta. Estas funciones tienen la forma:
f(x) = m x + b Donde m y b son constantes reales y x es la variable independiente y se conoce como factor de desplazamiento. Observa las siguientes imágenes:
La constante m representa a la pendiente de la recta, es decir la inclinación. Observa cómo aumenta la inclinación de la recta cuando se aumenta el valor de m de 0.5 a 1.5:
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f(x)= 0.5 x + 4

f(x)=1.5x + 2

La constante b es el punto de corte de la recta con el eje y. Observa en las gráficas de las siguientes funciones, cómo en la primera la recta corta el eje y en 2 y en la segunda la corta en 4:

Funciones cuadráticas

Una función cuadrática es una función de segundo grado (la máxima potencia de la literal es 2) y su representación gráfica es una parábola. La ecuación de las funciones cuadráticas se expresa de la siguiente forma:

a x ² + b x + c Donde

ax² es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

a,b,c se llaman términos y pueden ser cualquier número real. En el caso de a debe ser diferente a cero, puede ser menor o mayor pero no igual. En el caso de b y c pueden ser iguales a cero.

Observa los siguientes ejemplos con sus gráficas: